Matemática discreta Exemplos

$7^{x} + 7^{- x} = 50$

Etapa 1

Reescreva $7^{- x}$ como exponenciação.

$7^{x} + {(7^{x})}^{- 1} = 50$

Etapa 2

Substitua $u$ por $7^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 50$

Etapa 3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 50$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = 50$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = 50$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 50 u$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 50 u$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 1 = 50 u$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $50 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 1 - 50 u = 0$

Etapa 4.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 50$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.4.1.1

Eleve $- 50$ à potência de $2$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 4.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4.1.3

Subtraia $4$ de $2500$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{2496}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4.1.4

Reescreva $2496$ como $8^{2} \cdot 39$ .

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Etapa 4.3.4.1.4.1

Fatore $64$ de $2496$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{64 (39)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4.1.4.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$u = \frac{50 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$

Etapa 4.3.4.3

Simplifique $\frac{50 \pm 8 \sqrt{39}}{2}$ .

$u = 25 \pm 4 \sqrt{39}$

Etapa 4.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 25 + 4 \sqrt{39}, 25 - 4 \sqrt{39}$

Etapa 5

Substitua $25 + 4 \sqrt{39}$ por $u$ em $u = 7^{x}$ .

$25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Etapa 6

Resolva $25 + 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 + 4 \sqrt{39}$

Etapa 6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Etapa 6.3

Expanda $\ln (7^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ e simplifique.

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Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $x \ln (7) = \ln (25 + 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Etapa 7

Substitua $25 - 4 \sqrt{39}$ por $u$ em $u = 7^{x}$ .

$25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$

Etapa 8

Resolva $25 - 4 \sqrt{39} = 7^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$ .

$7^{x} = 25 - 4 \sqrt{39}$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (7^{x}) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Etapa 8.3

Expanda $\ln (7^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$

Etapa 8.4

Divida cada termo em $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ e simplifique.

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Etapa 8.4.1

Divida cada termo em $x \ln (7) = \ln (25 - 4 \sqrt{39})$ por $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Etapa 8.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (25 + 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}, \frac{\ln (25 - 4 \sqrt{39})}{\ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 2.01017645 \dots, - 2.01017645 \dots$