Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 25 = 75$ e cuja soma é $b = 20$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $20$ de $20 x$ .

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 (x) + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $20$ como $5$ mais $15$

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + (5 + 15) x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 5 x + 15 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x^{2} + 5 x) + 15 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x^{2} + 25}{x (3 x + 5) + 5 (3 x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Etapa 1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 5$ .

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(3 x + 5) (x + 5), x + 5, 3 x + 5$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $3 x + 5$ é o próprio $3 x + 5$ .

$(3 x + 5) = 3 x + 5$

$(3 x + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $x + 5$ é o próprio $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $3 x + 5$ é o próprio $3 x + 5$ .

$(3 x + 5) = 3 x + 5$

$(3 x + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O MMC de $3 x + 5, x + 5, x + 5, 3 x + 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(3 x + 5) (x + 5)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ por $(3 x + 5) (x + 5)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ por $(3 x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} ((3 x + 5) (x + 5)) + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(3 x + 5) (x + 5)$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + 25}{(3 x + 5) (x + 5)} ((3 x + 5) (x + 5)) + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((3 x + 5) (x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $x + 5$ de $(3 x + 5) (x + 5)$ .

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 25 + \frac{5}{x + 5} ((x + 5) (3 x + 5)) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 25 + 5 (3 x + 5) = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 25 + 5 (3 x) + 5 \cdot 5 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$x^{2} + 25 + 15 x + 5 \cdot 5 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $5$ por $5$ .

$x^{2} + 25 + 15 x + 25 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.2.2

Some $25$ e $25$ .

$x^{2} + 15 x + 50 = - \frac{5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $3 x + 5$ .

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Etapa 3.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{3 x + 5}$ para o numerador.

$x^{2} + 15 x + 50 = \frac{- 5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 15 x + 50 = \frac{- 5}{3 x + 5} ((3 x + 5) (x + 5))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 (x + 5)$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 x - 5 \cdot 5$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$x^{2} + 15 x + 50 = - 5 x - 25$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Some $5 x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 15 x + 50 + 5 x = - 25$

Etapa 4.1.2

Some $15 x$ e $5 x$ .

$x^{2} + 20 x + 50 = - 25$

Etapa 4.2

Some $25$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 20 x + 50 + 25 = 0$

Etapa 4.3

Some $50$ e $25$ .

$x^{2} + 20 x + 75 = 0$

Etapa 4.4

Fatore $x^{2} + 20 x + 75$ usando o método AC.

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Etapa 4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $75$ e cuja soma é $20$ .

$5, 15$

Etapa 4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 5) (x + 15) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 15 = 0$

Etapa 4.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.7

Defina $x + 15$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $x + 15$ como igual a $0$ .

$x + 15 = 0$

Etapa 4.7.2

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$x = - 15$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x + 15) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, - 15$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x^{2} + 25}{3 x^{2} + 20 x + 25} + \frac{5}{x + 5} = - \frac{5}{3 x + 5}$ verdadeira.

$x = - 15$