Matemática discreta Exemplos

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reduza a expressão $\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a^{2} r^{6}}{a^{2} r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{r^{6}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $r^{6}$ e $r^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $r^{3}$ de $r^{6}$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3}} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{r^{3} r^{3}}{r^{3} \cdot 1} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{r^{3}}{1} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1.2.2.4

Divida $r^{3}$ por $1$ .

$r^{3} = \frac{729}{- 27}$

Etapa 1.3

Divida $729$ por $- 27$ .

$r^{3} = - 27$

Etapa 2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Some $27$ aos dois lados da equação.

$r^{3} + 27 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$r^{3} + 3^{3} = 0$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = r$ e $b = 3$ .

$(r + 3) (r^{2} - r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 3^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r + 3 = 0$

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Etapa 2.4

Defina $r + 3$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $r + 3$ como igual a $0$ .

$r + 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$r = - 3$

Etapa 2.5

Defina $r^{2} - 3 r + 9$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $r^{2} - 3 r + 9$ como igual a $0$ .

$r^{2} - 3 r + 9 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $r^{2} - 3 r + 9 = 0$ para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$r = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(r + 3) (r^{2} - 3 r + 9) = 0$ verdadeiro.

$r = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

A variável $a$ foi cancelada.

Todos os números reais

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$