Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{4} \cdot {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Etapa 1

Simplifique $\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva.

$0 + 0 + \frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Etapa 1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{1}{4} {| x^{3} + 1 |}^{2} = | x^{3} + 1 | - 1$

Etapa 1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e ${| x^{3} + 1 |}^{2}$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} = | x^{3} + 1 | - 1$

Etapa 2

Subtraia $| x^{3} + 1 |$ dos dois lados da equação.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ por $4$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} - | x^{3} + 1 | = - 1$ por $4$ .

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{| x^{3} + 1 |}^{2}}{4} \cdot 4 - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - | x^{3} + 1 | \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 1 \cdot 4$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | = - 4$

Etapa 4

Some $4$ aos dois lados da equação.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 4 = 0$

Etapa 5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 4 | x^{3} + 1 | + 2^{2} = 0$

Etapa 5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 | x^{3} + 1 | = 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2$

Etapa 5.3

Reescreva o polinômio.

${| x^{3} + 1 |}^{2} - 2 \cdot | x^{3} + 1 | \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = | x^{3} + 1 |$ e $b = 2$ .

${(| x^{3} + 1 | - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6

Defina $| x^{3} + 1 | - 2$ como igual a $0$ .

$| x^{3} + 1 | - 2 = 0$

Etapa 7

Some $2$ aos dois lados da equação.

$| x^{3} + 1 | = 2$

Etapa 8

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x^{3} + 1 = \pm 2$

Etapa 9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x^{3} + 1 = 2$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{3} = 2 - 1$

Etapa 9.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$x^{3} = 1$

Etapa 9.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 1 = 0$

Etapa 9.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.4.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 9.4.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 9.4.3

Simplifique.

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Etapa 9.4.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Etapa 9.4.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Etapa 9.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 9.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 9.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 9.7

Defina $x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.7.1

Defina $x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 9.7.2

Resolva $x^{2} + x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 9.7.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3

Simplifique.

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Etapa 9.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.7.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 9.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.7.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.9

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x^{3} + 1 = - 2$

Etapa 9.10

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.10.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{3} = - 2 - 1$

Etapa 9.10.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$x^{3} = - 3$

Etapa 9.11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- 3}$

Etapa 9.12

Simplifique $\sqrt[3]{- 3}$ .

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Etapa 9.12.1

Reescreva $- 3$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 3$ .

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Etapa 9.12.1.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \sqrt[3]{- 1 (3)}$

Etapa 9.12.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 3}$

Etapa 9.12.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = - 1 \sqrt[3]{3}$

Etapa 9.12.3

Reescreva $- 1 \sqrt[3]{3}$ como $- \sqrt[3]{3}$ .

$x = - \sqrt[3]{3}$

Etapa 9.13

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \sqrt[3]{3}$

Etapa 10