Matemática discreta Exemplos

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $5^{x + 1}$ como $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $5^{2 x}$ como ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Etapa 1.3

Deixe $u = 5^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $5^{x}$ .

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Etapa 1.3.1

Avalie o expoente.

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

Etapa 1.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $u$ .

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

Etapa 1.4

Fatore $u^{2} + 5 u - 24$ usando o método AC.

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Etapa 1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $5$ .

$- 3, 8$

Etapa 1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u + 8) = 0$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

Etapa 3

Defina $5^{x} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $5^{x} - 3$ como igual a $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $5^{x} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$5^{x} = 3$

Etapa 3.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Etapa 3.2.3

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Etapa 3.2.4

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (3)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 3.2.4.1

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (3)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 3.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 4

Defina $5^{x} + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $5^{x} + 8$ como igual a $0$ .

$5^{x} + 8 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $5^{x} + 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$5^{x} = - 8$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 8)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $5^{x} = - 8$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.68260619 \dots$