Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 3, x - 3, 15$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 5$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $5$ .

$15$

Etapa 1.6

O fator de $x + 3$ é o próprio $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O fator de $x - 3$ é o próprio $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $x + 3, x - 3$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 3) (x - 3)$

Etapa 1.9

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$15 (x + 3) (x - 3)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$ por $15 (x + 3) (x - 3)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$ por $15 (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} (15 (x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 \frac{x - 3}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.2

Combine $15$ e $\frac{x - 3}{x + 3}$ .

$\frac{15 (x - 3)}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 (x - 3)}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$15 (x - 3) (x - 3) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.4

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$15 ({(x - 3)}^{1} (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.5

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$15 ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1}) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$15 {(x - 3)}^{1 + 1} + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 \frac{x + 3}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.9

Combine $15$ e $\frac{x + 3}{x - 3}$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.10

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 2.2.1.10.1

Fatore $x - 3$ de $(x + 3) (x - 3)$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.10.2

Cancele o fator comum.

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.10.3

Reescreva a expressão.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 (x + 3) (x + 3) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.11

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 ({(x + 3)}^{1} (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.12

Eleve $x + 3$ à potência de $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{1 + 1} = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.2.1.14

Some $1$ e $1$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $15$ de $15 (x + 3) (x - 3)$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((x + 3) (x - 3)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((x + 3) (x - 3)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 ((x + 3) (x - 3))$

Etapa 2.3.2

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.3.1.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x^{2} - 9)$

Etapa 2.3.3.3

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 x^{2} + 34 \cdot - 9$

Etapa 2.3.3.3.2

Multiplique $34$ por $- 9$ .

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 x^{2} - 306$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $34 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$15 ((x - 3) (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$15 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$15 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$15 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$15 (x^{2} - 6 x + 9) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$15 x^{2} + 15 (- 6 x) + 15 \cdot 9 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique $- 6$ por $15$ .

$15 x^{2} - 90 x + 15 \cdot 9 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.5.2

Multiplique $15$ por $9$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.6

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 ((x + 3) (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.7

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.8.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.8.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.8.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 6 x + 9) - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.9

Aplique a propriedade distributiva.

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 15 (6 x) + 15 \cdot 9 - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.10

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.10.1

Multiplique $6$ por $15$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 15 \cdot 9 - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.2.10.2

Multiplique $15$ por $9$ .

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.3

Combine os termos opostos em $15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 135 - 34 x^{2}$ .

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Etapa 3.1.3.1

Some $- 90 x$ e $90 x$ .

$15 x^{2} + 135 + 15 x^{2} + 0 + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.3.2

Some $15 x^{2} + 135 + 15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2} + 135 + 15 x^{2} + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.4

Some $15 x^{2}$ e $15 x^{2}$ .

$30 x^{2} + 135 + 135 - 34 x^{2} = - 306$

Etapa 3.1.5

Subtraia $34 x^{2}$ de $30 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 135 + 135 = - 306$

Etapa 3.1.6

Some $135$ e $135$ .

$- 4 x^{2} + 270 = - 306$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $270$ dos dois lados da equação.

$- 4 x^{2} = - 306 - 270$

Etapa 3.2.2

Subtraia $270$ de $- 306$ .

$- 4 x^{2} = - 576$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 576$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 576$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 576}{- 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 576}{- 4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 576}{- 4}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $- 576$ por $- 4$ .

$x^{2} = 144$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{144}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{144}$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Etapa 3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 12$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 12$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 12$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 12, - 12$