Matemática discreta Exemplos

$x^{4} - 34 x^{2} = - 225$

Etapa 1

Some $225$ aos dois lados da equação.

$x^{4} - 34 x^{2} + 225 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 34 x^{2} + 225 = 0$

Etapa 2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} - 34 u + 225 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $u^{2} - 34 u + 225$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $225$ e cuja soma é $- 34$ .

$- 25, - 9$

Etapa 2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 25) (u - 9) = 0$

Etapa 2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} - 25) (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.5

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 2.8

Fatore.

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Etapa 2.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x + 5) (x - 5) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x - 5) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5, - 3, 3$