Matemática discreta Exemplos

$x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20 = 0$

Etapa 1

Fatore $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Etapa 1.3

Substitua $5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $5$ no polinômio.

$5^{3} - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Etapa 1.3.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$125 - 7 \cdot 5^{2} + 6 \cdot 5 + 20$

Etapa 1.3.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$125 - 7 \cdot 25 + 6 \cdot 5 + 20$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 7$ por $25$ .

$125 - 175 + 6 \cdot 5 + 20$

Etapa 1.3.5

Subtraia $175$ de $125$ .

$- 50 + 6 \cdot 5 + 20$

Etapa 1.3.6

Multiplique $6$ por $5$ .

$- 50 + 30 + 20$

Etapa 1.3.7

Some $- 50$ e $30$ .

$- 20 + 20$

Etapa 1.3.8

Some $- 20$ e $20$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20}{x - 5}$

Etapa 1.5

Divida $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ por $x - 5$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$6 x$

$20$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 10 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							-	$4 x$	+	$20$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x + 20$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$6 x$	+	$20$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$4 x$	+	$20$
							+	$4 x$	-	$20$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 2 x - 4$

Etapa 1.6

Escreva $x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 20$ como um conjunto de fatores.

$(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Etapa 3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4

Defina $x^{2} - 2 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} - 2 x - 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Etapa 4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.3

Some $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 4.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 5, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 5, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$