Matemática discreta Exemplos

$14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 14 \cdot - 1 = - 14$ e cuja soma é $b = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 u$ .

$14 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 5$ como $2$ mais $- 7$

$14 u^{2} + (2 - 7) u - 1 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$14 u^{2} + 2 u - 7 u - 1 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(14 u^{2} + 2 u) - 7 u - 1 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 u (7 u + 1) - (7 u + 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $7 u + 1$ .

$(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$7 u + 1 = 0$

$2 u - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $7 u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $7 u + 1$ como igual a $0$ .

$7 u + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $7 u + 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$7 u = - 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $7 u = - 1$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $7 u = - 1$ por $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{7}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{7}$

Etapa 5

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(7 u + 1) (2 u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{1}{7}, \frac{1}{2}$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{7}$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{7}}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $- \frac{1}{7}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{7}}$

Etapa 9.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{7}}$

Etapa 9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{7}}$

Etapa 9.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{7}}$

Etapa 9.2.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{7}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Etapa 9.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{7}}$

Etapa 9.2.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Etapa 9.2.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Etapa 9.2.7.2

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Etapa 9.2.7.3

Eleve $\sqrt{7}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Etapa 9.2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Etapa 9.2.7.6

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.2.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Etapa 9.2.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{7}}{7}$

Etapa 9.2.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1}{2}$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.3.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 11.3.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 11.3.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 11.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 11.3.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.3.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.3.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.3.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.3.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 11.3.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 12

A solução para $14 x^{4} - 5 x^{2} - 1 = 0$ é $x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{i \sqrt{7}}{7}, - \frac{i \sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$