Matemática discreta Exemplos

$12 e^{6.8 x} = 8 e^{3 x}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (12 e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (12 e^{6.8 x})$ como $\ln (12) + \ln (e^{6.8 x})$ .

$\ln (12) + \ln (e^{6.8 x}) = \ln (8 e^{3 x})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (e^{6.8 x})$ movendo $6.8 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (12) + 6.8 x \ln (e) = \ln (8 e^{3 x})$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x \cdot 1 = \ln (8 e^{3 x})$

Etapa 2.4

Multiplique $6.8$ por $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8 e^{3 x})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (8 e^{3 x})$ como $\ln (8) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + \ln (e^{3 x})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln (e^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \ln (e)$

Etapa 3.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\ln (12) + 6.8 x = \ln (8) + 3 x$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (12) - \ln (8) = - 6.8 x + 3 x$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{12}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $12$ e $8$ .

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Etapa 6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\ln (\frac{4 (3)}{8}) = - 6.8 x + 3 x$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}) = - 6.8 x + 3 x$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{3}{2}) = - 6.8 x + 3 x$

Etapa 7

Some $- 6.8 x$ e $3 x$ .

$\ln (\frac{3}{2}) = - 3.8 x$

Etapa 8

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 9

Divida cada termo em $- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ por $- 3.8$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $- 3.8 x = \ln (\frac{3}{2})$ por $- 3.8$ .

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $- 3.8$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3.8 x}{- 3.8} = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Etapa 9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{3}{2})}{- 3.8}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{3}{2})}{3.8}$

Etapa 9.3.2

Substitua $e$ por uma aproximação.

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{3}{2})}{3.8}$

Etapa 9.3.3

Divida $3$ por $2$ .

$x = - \frac{\log_{2.71828182} (1.5)}{3.8}$

Etapa 9.3.4

A base do logaritmo $2.71828182$ de $1.5$ é de aproximadamente $0.4054651$ .

$x = - \frac{0.4054651}{3.8}$

Etapa 9.3.5

Divida $0.4054651$ por $3.8$ .

$x = - 1 \cdot 0.10670134$

Etapa 9.3.6

Multiplique $- 1$ por $0.10670134$ .

$x = - 0.10670134$