Matemática discreta Exemplos

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \log_{4} (x) - \log_{4} (x - 1)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $2 \log_{4} (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{4} (x^{2}) - \log_{4} (x - 1) = 1$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$

Etapa 3

Reescreva $\log_{4} (\frac{x^{2}}{x - 1}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} = 4 (x - 1)$

Etapa 5

Simplifique $4 (x - 1)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = 4 x + 4 \cdot - 1$

Etapa 5.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4 x - 4$

Etapa 6

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x = - 4$

Etapa 7

Fatore $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = - 4$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Etapa 7.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = - 4$

Etapa 8

Simplifique $x (x - 4)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = - 4$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = - 4$

Etapa 8.2.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 4 x = - 4$

Etapa 9

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Etapa 10

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Etapa 10.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 10.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 10.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$