Matemática discreta Exemplos

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Etapa 1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 5$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.3

Subtraia $32$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 3.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 4

Substitua $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Etapa 5

Resolva $\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.4

Expanda o lado direito.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ como $\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Etapa 5.4.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 5.4.3

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 5.4.4

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Etapa 5.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1.1

Simplifique $- 2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 5.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 5.5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Etapa 6

Substitua $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.4

Expanda o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Reescreva $\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ como $\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Etapa 7.4.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 7.4.3

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 7.4.4

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Etapa 7.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1.1

Simplifique $- 2 \ln (2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 7.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 7.5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$