Matemática discreta Exemplos

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Etapa 1

Reescreva

e^{2 x}

$e^{2 x}$ como exponenciação.

2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

Etapa 2

Substitua

u

$u$ por

e^{x}

$e^{x}$ .

2 u^{2} - 5 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Etapa 3

Resolva

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2

Substitua os valores

a = 2

$a = 2$ ,

b = - 5

$b = - 5$ e

c = 4

$c = 4$ na fórmula quadrática e resolva

u

$u$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Eleve

- 5

$- 5$ à potência de

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique

- 4 \cdot 2 \cdot 4

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique

- 8

$- 8$ por

4

$4$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.3

Subtraia

32

$32$ de

25

$25$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva

- 7

$- 7$ como

- 1 (7)

$- 1 (7)$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.5

Reescreva

\sqrt{- 1 (7)}

$\sqrt{- 1 (7)}$ como

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.6

Reescreva

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ como

i

$i$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 3.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 4

Substitua

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ por

u

$u$ em

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Etapa 5

Resolva

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Expanda

$\ln (e^{x})$ movendo

$x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de

$e$ é

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.3.3

Multiplique

$x$ por

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 5.4

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Reescreva

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ como

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Etapa 5.4.2

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 5.4.3

Reescreva

$\ln (4)$ como

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 5.4.4

Expanda

$\ln (2^{2})$ movendo

$2$ para fora do logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Etapa 5.4.5

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Simplifique

$- 2 \ln (2)$ movendo

$2$ para dentro do logaritmo.

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 5.5.1.2

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 5.5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Etapa 6

Substitua

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ por

$u$ em

$u = e^{x}$ .

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva a equação como

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Expanda

$\ln (e^{x})$ movendo

$x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.3.2

O logaritmo natural de

$e$ é

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.3.3

Multiplique

$x$ por

$1$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

Etapa 7.4

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Reescreva

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ como

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

Etapa 7.4.2

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 7.4.3

Reescreva

$\ln (4)$ como

$\ln (2^{2})$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 7.4.4

Expanda

$\ln (2^{2})$ movendo

$2$ para fora do logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

Etapa 7.4.5

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

Etapa 7.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.1

Simplifique

$- 2 \ln (2)$ movendo

$2$ para dentro do logaritmo.

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

Etapa 7.5.1.2

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

Etapa 7.5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$