Matemática discreta Exemplos

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 8$

Etapa 1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} - 8 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 2 y$ e $c = 5 y^{2} - 8$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Adicione parênteses.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2

Deixe $u = 4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3

Fatore $4$ de $4 y^{2} - 4 u$ .

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Etapa 4.1.3.1

Fatore $4$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.2

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 \cdot (5 y^{2} - 8)))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 (5 y^{2}) + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5.1.3

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} - 32))}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2}) + 32)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5.1.5

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 32$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $20 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{y + \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$