Matemática discreta Exemplos

$24 c^{2} (2 c - 7) = - 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$

Etapa 1

Como $c$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2

Simplifique $- 35 (2 c - 7) - 58 c (2 c - 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 35 (2 c) - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $- 35$ .

$- 70 c - 35 \cdot - 7 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.3

Multiplique $- 35$ por $- 7$ .

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c - 7) = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 70 c + 245 - 58 c (2 c) - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c - 58 c \cdot - 7 = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.6

Multiplique $- 7$ por $- 58$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c \cdot c + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Multiplique $c$ por $c$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1

Mova $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 (c \cdot c) + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.7.1.2

Multiplique $c$ por $c$ .

$- 70 c + 245 - 58 \cdot 2 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.1.7.2

Multiplique $- 58$ por $2$ .

$- 70 c + 245 - 116 c^{2} + 406 c = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 2.2

Some $- 70 c$ e $406 c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c - 7)$

Etapa 3

Simplifique $24 c^{2} (2 c - 7)$ .

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Etapa 3.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 c^{2} (2 c) + 24 c^{2} \cdot - 7$

Etapa 3.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c + 24 c^{2} \cdot - 7$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 7$ por $24$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{2} c - 168 c^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $c^{2}$ por $c$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Mova $c$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c \cdot c^{2}) - 168 c^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $c$ por $c^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 (c^{1} c^{2}) - 168 c^{2}$

Etapa 3.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{1 + 2} - 168 c^{2}$

Etapa 3.2.1.3

Some $1$ e $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 24 \cdot 2 c^{3} - 168 c^{2}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $24$ por $2$ .

$336 c + 245 - 116 c^{2} = 48 c^{3} - 168 c^{2}$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm $c$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $48 c^{3}$ dos dois lados da equação.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} = - 168 c^{2}$

Etapa 4.2

Some $168 c^{2}$ aos dois lados da equação.

$336 c + 245 - 116 c^{2} - 48 c^{3} + 168 c^{2} = 0$

Etapa 4.3

Some $- 116 c^{2}$ e $168 c^{2}$ .

$336 c + 245 - 48 c^{3} + 52 c^{2} = 0$

Etapa 5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Reordene os termos.

$- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245 = 0$

Etapa 5.2

Fatore $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 245, \pm 5, \pm 49, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Etapa 5.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0625, \pm 0.25, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.125, \pm 245, \pm 5.1041\overline{6}, \pm 122.5, \pm 10.208\overline{3}, \pm 81.\overline{6}, \pm 15.3125, \pm 61.25, \pm 20.41\overline{6}, \pm 40.8\overline{3}, \pm 30.625, \pm 5, \pm 0.1041\overline{6}, \pm 2.5, \pm 0.208\overline{3}, \pm 1.\overline{6}, \pm 0.3125, \pm 1.25, \pm 0.41\overline{6}, \pm 0.8\overline{3}, \pm 0.625, \pm 49, \pm 1.0208\overline{3}, \pm 24.5, \pm 2.041\overline{6}, \pm 16.\overline{3}, \pm 3.0625, \pm 12.25, \pm 4.08\overline{3}, \pm 8.1\overline{6}, \pm 6.125, \pm 7, \pm 0.1458\overline{3}, \pm 3.5, \pm 0.291\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 0.4375, \pm 1.75, \pm 0.58\overline{3}, \pm 1.1\overline{6}, \pm 0.875, \pm 35, \pm 0.7291\overline{6}, \pm 17.5, \pm 1.458\overline{3}, \pm 11.\overline{6}, \pm 2.1875, \pm 8.75, \pm 2.91\overline{6}, \pm 5.8\overline{3}, \pm 4.375$

Etapa 5.2.3

Substitua $- 1.25$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1.25$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.3.1

Substitua $- 1.25$ no polinômio.

$- 48 {(- 1.25)}^{3} + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $- 1.25$ à potência de $3$ .

$- 48 \cdot - 1.953125 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $- 48$ por $- 1.953125$ .

$93.75 + 52 {(- 1.25)}^{2} + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $- 1.25$ à potência de $2$ .

$93.75 + 52 \cdot 1.5625 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $52$ por $1.5625$ .

$93.75 + 81.25 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Etapa 5.2.3.6

Some $93.75$ e $81.25$ .

$175 + 336 \cdot - 1.25 + 245$

Etapa 5.2.3.7

Multiplique $336$ por $- 1.25$ .

$175 - 420 + 245$

Etapa 5.2.3.8

Subtraia $420$ de $175$ .

$- 245 + 245$

Etapa 5.2.3.9

Some $- 245$ e $245$ .

$0$

Etapa 5.2.4

Como $- 1.25$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $4 c + 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245}{4 c + 5}$

Etapa 5.2.5

Divida $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ por $4 c + 5$ .

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Etapa 5.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 c$

$5$

$48 c^{3}$

$52 c^{2}$

$336 c$

$245$

Etapa 5.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 48 c^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 c$ .

				-	$12 c^{2}$
	$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$

Etapa 5.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			-	$48 c^{3}$	-	$60 c^{2}$

Etapa 5.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 48 c^{3} - 60 c^{2}$ .

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$

Etapa 5.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$

Etapa 5.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$12 c^{2}$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Etapa 5.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $112 c^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$

Etapa 5.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					+	$112 c^{2}$	+	$140 c$

Etapa 5.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $112 c^{2} + 140 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$

Etapa 5.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$

Etapa 5.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Etapa 5.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $196 c$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 c$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$

Etapa 5.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							+	$196 c$	+	$245$

Etapa 5.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $196 c + 245$ .

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$

Etapa 5.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$12 c^{2}$	+	$28 c$	+	$49$
$4 c$	+	$5$	-	$48 c^{3}$	+	$52 c^{2}$	+	$336 c$	+	$245$
			+	$48 c^{3}$	+	$60 c^{2}$
					+	$112 c^{2}$	+	$336 c$
					-	$112 c^{2}$	-	$140 c$
							+	$196 c$	+	$245$
							-	$196 c$	-	$245$
										$0$

Etapa 5.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 12 c^{2} + 28 c + 49$

Etapa 5.2.6

Escreva $- 48 c^{3} + 52 c^{2} + 336 c + 245$ como um conjunto de fatores.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 c + 49) = 0$

Etapa 5.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 12 \cdot 49 = - 588$ e cuja soma é $b = 28$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Fatore $28$ de $28 c$ .

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + 28 (c) + 49) = 0$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva $28$ como $- 14$ mais $42$

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} + (- 14 + 42) c + 49) = 0$

Etapa 5.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 c + 5) (- 12 c^{2} - 14 c + 42 c + 49) = 0$

Etapa 5.3.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 c + 5) ((- 12 c^{2} - 14 c) + 42 c + 49) = 0$

Etapa 5.3.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(4 c + 5) (2 c (- 6 c - 7) - 7 (- 6 c - 7)) = 0$

Etapa 5.3.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 6 c - 7$ .

$(4 c + 5) ((- 6 c - 7) (2 c - 7)) = 0$

Etapa 5.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 c + 5 = 0$

$- 6 c - 7 = 0$

$2 c - 7 = 0$

Etapa 7

Defina $4 c + 5$ como igual a $0$ e resolva para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $4 c + 5$ como igual a $0$ .

$4 c + 5 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $4 c + 5 = 0$ para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$4 c = - 5$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $4 c = - 5$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $4 c = - 5$ por $4$ .

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 c}{4} = \frac{- 5}{4}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{- 5}{4}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$c = - \frac{5}{4}$

Etapa 8

Defina $- 6 c - 7$ como igual a $0$ e resolva para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $- 6 c - 7$ como igual a $0$ .

$- 6 c - 7 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $- 6 c - 7 = 0$ para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$- 6 c = 7$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $- 6 c = 7$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $- 6 c = 7$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 c}{- 6} = \frac{7}{- 6}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{7}{- 6}$

Etapa 8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$c = - \frac{7}{6}$

Etapa 9

Defina $2 c - 7$ como igual a $0$ e resolva para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Defina $2 c - 7$ como igual a $0$ .

$2 c - 7 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $2 c - 7 = 0$ para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$2 c = 7$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $2 c = 7$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $2 c = 7$ por $2$ .

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 c}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{7}{2}$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(4 c + 5) (- 6 c - 7) (2 c - 7) = 0$ verdadeiro.

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$c = - \frac{5}{4}, - \frac{7}{6}, \frac{7}{2}$

Forma decimal:

$c = - 1.25, - 1.1\overline{6}, 3.5$

Forma de número misto:

$c = - 1 \frac{1}{4}, - 1 \frac{1}{6}, 3 \frac{1}{2}$