Matemática discreta Exemplos

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

Etapa 3

Resolva $b$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $\frac{27}{64}$ dos dois lados da equação.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{27}{64}$ como ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = b$ e $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.3.1

Combine $b$ e $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $3$ por $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.4

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

Etapa 3.2.3.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

Etapa 3.2.3.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Etapa 3.4

Defina $b - \frac{3}{4}$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $b - \frac{3}{4}$ como igual a $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

Etapa 3.4.2

Some $\frac{3}{4}$ aos dois lados da equação.

$b = \frac{3}{4}$

Etapa 3.5

Defina $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ como igual a $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ para $b$ .

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $16$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.5.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.5.2.1.2.1.1

Fatore $4$ de $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Etapa 3.5.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Etapa 3.5.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Etapa 3.5.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Etapa 3.5.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 3.5.2.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

Etapa 3.5.2.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

Etapa 3.5.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.2.3

Substitua os valores $a = 16$ , $b = 12$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.2.4.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

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Etapa 3.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 64$ por $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.3

Subtraia $576$ de $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.4

Reescreva $- 432$ como $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (432)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.7

Reescreva $432$ como $12^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 3.5.2.4.1.7.1

Fatore $144$ de $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.7.2

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.1.9

Mova $12$ para a esquerda de $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

Etapa 3.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 3.5.2.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ verdadeiro.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$