Matemática discreta Exemplos

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4 \cdot 3}$

Etapa 2.2.1.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{12}$

Etapa 2.2.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{12}$

Etapa 2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} - \frac{1}{12}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{6}{12} - \frac{1}{12}$

Etapa 2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 - 1}{12}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{5}{12}$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{5}{12}} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{12}{5}) [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $\frac{12}{5}$ por $1$ .

$\frac{12}{5} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 7

Multiplique $\frac{12}{5}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.1.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.1.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 3 & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{3}{5}$ e $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 3}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.4.2

Fatore $4$ de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.4.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.4.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \cdot - 1 \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.5

Combine $\frac{3}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3 \cdot - 1}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{- 3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.8.2

Fatore $3$ de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.8.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.8.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \cdot - 1 & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.9

Combine $\frac{4}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4 \cdot - 1}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.10

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.12

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.12.1

Fatore $3$ de $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.12.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 8.12.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \cdot 2 \end{array}]$

Etapa 8.13

Combine $\frac{4}{5}$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4 \cdot 2}{5} \end{array}]$

Etapa 8.14

Multiplique $4$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{8}{5} \end{array}]$