Matemática discreta Exemplos

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Etapa 1

Subtraia $\cos (2 x)$ dos dois lados da equação.

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.2

Some $79 \sin^{2} (x)$ e $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Fatore $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $81 \sin^{2} (x)$ como ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Etapa 3.3

Reordene $- 1^{2}$ e ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Etapa 3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 9 \sin (x)$ e $b = 1$ .

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 5

Defina $9 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $9 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $9 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$9 \sin (x) = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $9 \sin (x) = - 1$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $9 \sin (x) = - 1$ por $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

Etapa 5.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

Avalie $\arcsin (- \frac{1}{9})$ .

$x = - 0.11134101$

Etapa 5.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

Etapa 5.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 5.2.6.2

O ângulo resultante de $3.25293366$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 3.25293366$

Etapa 5.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.8.1

Some $2 π$ com $- 0.11134101$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.11134101 + 2 π$

Etapa 5.2.8.2

Subtraia $0.11134101$ de $2 π$ .

$6.17184429$

Etapa 5.2.8.3

Liste os novos ângulos.

$x = 6.17184429$

Etapa 5.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $9 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $9 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $9 \sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$9 \sin (x) = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $9 \sin (x) = 1$ por $9$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $9 \sin (x) = 1$ por $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

Etapa 6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{1}{9})$ .

$x = 0.11134101$

Etapa 6.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Etapa 6.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.6.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

Etapa 6.2.6.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Etapa 6.2.6.3

Subtraia $0.11134101$ de $3.14159265$ .

$x = 3.03025163$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

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Etapa 8.1

Consolide $3.25293366 + 2 π n$ e $0.11134101 + 2 π n$ em $0.11134101 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $6.17184429 + 2 π n$ e $3.03025163 + 2 π n$ em $3.03025163 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$