Matemática discreta Exemplos

$6 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 1$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$6 {(u)}^{2} - 4 u = 1$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$6 u^{2} - 4 u - 1 = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 6$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 1)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot - 1$ .

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Etapa 5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $- 24$ por $- 1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.1.3

Some $16$ e $24$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.1.4

Reescreva $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Etapa 5.1.4.1

Fatore $4$ de $40$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{6}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Etapa 7

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Etapa 8

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$ .

$x = 1.03601404$

Etapa 9.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Etapa 9.4

Resolva $x$ .

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Etapa 9.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 1.03601404$

Etapa 9.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Etapa 9.4.3

Subtraia $1.03601404$ de $3.14159265$ .

$x = 2.1055786$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$ .

$x = - 0.19494537$

Etapa 10.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Etapa 10.4

Resolva $x$ .

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Etapa 10.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.19494537$

Etapa 10.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Etapa 10.4.3

Some $3.14159265$ e $0.19494537$ .

$x = 3.33653802$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.6.1

Some $2 π$ com $- 0.19494537$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.19494537 + 2 π$

Etapa 10.6.2

Subtraia $0.19494537$ de $2 π$ .

$6.08823993$

Etapa 10.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 6.08823993$

Etapa 10.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Liste todas as soluções.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n, 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$