Matemática discreta Exemplos

$5^{6 a - 3} = 2^{4 a + 1}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (5^{6 a - 3}) = \ln (2^{4 a + 1})$

Etapa 2

Expanda $\ln (5^{6 a - 3})$ movendo $6 a - 3$ para fora do logaritmo.

$(6 a - 3) \ln (5) = \ln (2^{4 a + 1})$

Etapa 3

Expanda $\ln (2^{4 a + 1})$ movendo $4 a + 1$ para fora do logaritmo.

$(6 a - 3) \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Etapa 4

Resolva a equação para $a$ .

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Etapa 4.1

Simplifique $(6 a - 3) \ln (5)$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (6 a - 3) \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Etapa 4.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(6 a - 3) \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) = (4 a + 1) \ln (2)$

Etapa 4.2

Simplifique $(4 a + 1) \ln (2)$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) = 4 a \ln (2) + 1 \ln (2)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\ln (2)$ por $1$ .

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) = 4 a \ln (2) + \ln (2)$

Etapa 4.3

Subtraia $4 a \ln (2)$ dos dois lados da equação.

$6 a \ln (5) - 3 \ln (5) - 4 a \ln (2) = \ln (2)$

Etapa 4.4

Some $3 \ln (5)$ aos dois lados da equação.

$6 a \ln (5) - 4 a \ln (2) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Etapa 4.5

Fatore $2 a$ de $6 a \ln (5) - 4 a \ln (2)$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $2 a$ de $6 a \ln (5)$ .

$2 a (3 \ln (5)) - 4 a \ln (2) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Etapa 4.5.2

Fatore $2 a$ de $- 4 a \ln (2)$ .

$2 a (3 \ln (5)) + 2 a (- 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Etapa 4.5.3

Fatore $2 a$ de $2 a (3 \ln (5)) + 2 a (- 2 \ln (2))$ .

$2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$

Etapa 4.6

Divida cada termo em $2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$ por $2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))$ e simplifique.

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Etapa 4.6.1

Divida cada termo em $2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2)) = \ln (2) + 3 \ln (5)$ por $2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))$ .

$\frac{2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Etapa 4.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Etapa 4.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{3 \ln (5) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum de $3 \ln (5) - 2 \ln (2)$ .

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Etapa 4.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}{3 \ln (5) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Etapa 4.6.2.2.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$a = \frac{\ln (2)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))} + \frac{3 \ln (5)}{2 (3 \ln (5) - 2 \ln (2))}$

Forma decimal:

$a = 0.80206708 \dots$