Matemática discreta Exemplos

$a (n) = \frac{n + 1}{n + 3}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, n + 3$

Etapa 1.2

Remova os parênteses.

$1, n + 3$

Etapa 1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$n + 3$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ por $n + 3$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ por $n + 3$ .

$a n (n + 3) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a n \cdot n + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Etapa 2.2.2

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova $n$ .

$a (n \cdot n) + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$a n^{2} + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Etapa 2.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $a n$ .

$a n^{2} + 3 \cdot (a n) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Etapa 2.2.4

Remova os parênteses.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $n + 3$ .

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$a n^{2} + 3 a n = n + 1$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $n$ dos dois lados da equação.

$a n^{2} + 3 a n - n = 1$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$a n^{2} + 3 a n - n - 1 = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = a$ , $b = 3 a - 1$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $n$ .

$\frac{- (3 a - 1) \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot - 1)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$n = \frac{- (3 a) + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.4

Reescreva ${(3 a - 1)}^{2}$ como $(3 a - 1) (3 a - 1)$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{(3 a - 1) (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.5

Expanda $(3 a - 1) (3 a - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a - 1) - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.6.1.2.1

Mova $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (a \cdot a)) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a^{2}) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.6.2

Subtraia $3 a$ de $- 3 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Etapa 3.5.7

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 + 4 a}}{2 a}$

Etapa 3.5.8

Some $- 6 a$ e $4 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$