Matemática discreta Exemplos

$53 = \frac{170 t}{t^{2} + 1}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ .

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$t^{2} + 1, 1$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$t^{2} + 1, 1$

Etapa 2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$t^{2} + 1$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ por $t^{2} + 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{170 t}{t^{2} + 1} = 53$ por $t^{2} + 1$ .

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} (t^{2} + 1) = 53 (t^{2} + 1)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $t^{2} + 1$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{170 t}{t^{2} + 1} (t^{2} + 1) = 53 (t^{2} + 1)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$170 t = 53 (t^{2} + 1)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$170 t = 53 t^{2} + 53 \cdot 1$

Etapa 3.3.2

Multiplique $53$ por $1$ .

$170 t = 53 t^{2} + 53$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $53 t^{2}$ dos dois lados da equação.

$170 t - 53 t^{2} = 53$

Etapa 4.2

Subtraia $53$ dos dois lados da equação.

$170 t - 53 t^{2} - 53 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = - 53$ , $b = 170$ e $c = - 53$ na fórmula quadrática e resolva $t$ .

$\frac{- 170 \pm \sqrt{170^{2} - 4 \cdot (- 53 \cdot - 53)}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $170$ à potência de $2$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 - 4 \cdot - 53 \cdot - 53}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 53 \cdot - 53$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 + 212 \cdot - 53}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $212$ por $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{28900 - 11236}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5.1.3

Subtraia $11236$ de $28900$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{17664}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva $17664$ como $16^{2} \cdot 69$ .

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Etapa 4.5.1.4.1

Fatore $256$ de $17664$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{256 (69)}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5.1.4.2

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$t = \frac{- 170 \pm \sqrt{16^{2} \cdot 69}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$t = \frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{2 \cdot - 53}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $- 53$ .

$t = \frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{- 106}$

Etapa 4.5.3

Simplifique $\frac{- 170 \pm 16 \sqrt{69}}{- 106}$ .

$t = \frac{85 \pm 8 \sqrt{69}}{53}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$t = \frac{85 + 8 \sqrt{69}}{53}, \frac{85 - 8 \sqrt{69}}{53}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = \frac{85 + 8 \sqrt{69}}{53}, \frac{85 - 8 \sqrt{69}}{53}$

Forma decimal:

$t = 2.85760360 \dots, 0.34994356 \dots$