Matemática discreta Exemplos

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(v - 1) (v + 7), 1, v + 7$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $v - 1$ é o próprio $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $v + 7$ é o próprio $v + 7$ .

$(v + 7) = v + 7$

$(v + 7)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O MMC de $v - 1, v + 7, v + 7$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(v - 1) (v + 7)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$ por $(v - 1) (v + 7)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$ por $(v - 1) (v + 7)$ .

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} ((v - 1) (v + 7)) = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $(v - 1) (v + 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} ((v - 1) (v + 7)) = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$7 = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Expanda $(v - 1) (v + 7)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 = - 3 (v (v + 7) - 1 (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 = - 3 (v \cdot v + v \cdot 7 - 1 (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 = - 3 (v \cdot v + v \cdot 7 - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Multiplique $v$ por $v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + v \cdot 7 - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Mova $7$ para a esquerda de $v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 \cdot v - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.2.1.3

Reescreva $- 1 v$ como $- v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 v - v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 v - v - 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.2.2

Subtraia $v$ de $7 v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 6 v - 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 = - 3 v^{2} - 3 (6 v) - 3 \cdot - 7 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v - 3 \cdot - 7 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 7$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $v + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $v + 7$ de $(v - 1) (v + 7)$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v + 7) (v - 1))$

Etapa 2.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v + 7) (v - 1))$

Etapa 2.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 (v - 1)$

Etapa 2.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 v + 2 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 v - 2$

Etapa 2.3.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $- 18 v$ e $2 v$ .

$7 = - 3 v^{2} - 16 v + 21 - 2$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $2$ de $21$ .

$7 = - 3 v^{2} - 16 v + 19$

Etapa 3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- 3 v^{2} - 16 v + 19 = 7$ .

$- 3 v^{2} - 16 v + 19 = 7$

Etapa 3.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- 3 v^{2} - 16 v + 19 - 7 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $7$ de $19$ .

$- 3 v^{2} - 16 v + 12 = 0$

Etapa 3.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $- 1$ de $- 3 v^{2} - 16 v + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $- 1$ de $- 3 v^{2}$ .

$- (3 v^{2}) - 16 v + 12 = 0$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $- 1$ de $- 16 v$ .

$- (3 v^{2}) - (16 v) + 12 = 0$

Etapa 3.4.1.3

Reescreva $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (3 v^{2}) - (16 v) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 3.4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (3 v^{2}) - (16 v)$ .

$- (3 v^{2} + 16 v) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 3.4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (3 v^{2} + 16 v) - 1 (- 12)$ .

$- (3 v^{2} + 16 v - 12) = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ e cuja soma é $b = 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Fatore $16$ de $16 v$ .

$- (3 v^{2} + 16 (v) - 12) = 0$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Reescreva $16$ como $- 2$ mais $18$

$- (3 v^{2} + (- 2 + 18) v - 12) = 0$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (3 v^{2} - 2 v + 18 v - 12) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((3 v^{2} - 2 v) + 18 v - 12) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (v (3 v - 2) + 6 (3 v - 2)) = 0$

Etapa 3.4.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 v - 2$ .

$- ((3 v - 2) (v + 6)) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 v - 2) (v + 6) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 v - 2 = 0$

$v + 6 = 0$

Etapa 3.6

Defina $3 v - 2$ como igual a $0$ e resolva para $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $3 v - 2$ como igual a $0$ .

$3 v - 2 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $3 v - 2 = 0$ para $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 v = 2$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $3 v = 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $3 v = 2$ por $3$ .

$\frac{3 v}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 v}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{2}{3}$

Etapa 3.7

Defina $v + 6$ como igual a $0$ e resolva para $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Defina $v + 6$ como igual a $0$ .

$v + 6 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$v = - 6$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 v - 2) (v + 6) = 0$ verdadeiro.

$v = \frac{2}{3}, - 6$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$v = \frac{2}{3}, - 6$

Forma decimal:

$v = 0.\overline{6}, - 6$