Matemática discreta Exemplos

${(\frac{5}{6})}^{x} = \frac{36}{25}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{5}{6})}^{x}) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{5}{6})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{5}{6})$ como $\ln (5) - \ln (6)$ .

$x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (6)$ como $\ln (2 (3))$ .

$x (\ln (5) - \ln (2 (3))) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (2 (3))$ como $\ln (2) + \ln (3)$ .

$x (\ln (5) - (\ln (2) + \ln (3))) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3))$ .

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Etapa 3.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x (\ln (\frac{5}{2}) - \ln (3)) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (\frac{\frac{5}{2}}{3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x \ln (\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (\frac{5}{2 \cdot 3}) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$

Etapa 4

Divida cada termo em $x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$ por $\ln (\frac{5}{6})$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $x \ln (\frac{5}{6}) = \ln (\frac{36}{25})$ por $\ln (\frac{5}{6})$ .

$\frac{x \ln (\frac{5}{6})}{\ln (\frac{5}{6})} = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (\frac{5}{6})$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (\frac{5}{6})}{\ln (\frac{5}{6})} = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (\frac{36}{25})}{\ln (\frac{5}{6})}$

Forma decimal:

$x = - 2$