Matemática discreta Exemplos

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\ln (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $\ln (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\ln (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\ln (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\ln (x) = 2$

Etapa 3.2.2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\ln (x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a equação como $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Etapa 4

Defina $\ln (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\ln (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\ln (x) + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\ln (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\ln (x) = - 1$

Etapa 4.2.2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Etapa 4.2.3

Reescreva $\ln (x) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Etapa 4.2.4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.4.1

Reescreva a equação como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Forma decimal:

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$