Matemática discreta Exemplos

${(3 x - 4)}^{3}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(3 x - 4)}^{3}$ , $n = 3$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $4$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $3 x$ e $b$ $- 4$ na expressão.

$1 {(3 x)}^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(3 x)}^{3}$ por $1$ .

${(3 x)}^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$3^{3} x^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 x^{3} {(- 4)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.5

Multiplique $27$ por $1$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.6

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.7

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.1

Mova $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.7.2

Multiplique $3^{2}$ por $3$ .

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Etapa 4.7.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.7.3

Some $2$ e $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} {(- 4)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.8

Simplifique $3^{3} x^{2} {(- 4)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 4 + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.9

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 4 + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.10

Multiplique $- 4$ por $27$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.11

Simplifique.

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 3 (3 x) {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.12

Multiplique $3$ por $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 9 x {(- 4)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.13

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 9 x \cdot 16 + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.14

Multiplique $16$ por $9$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.15

Multiplique ${(3 x)}^{0}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + {(3 x)}^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.16

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 3^{0} x^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.17

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 x^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.18

Multiplique $x^{0}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + x^{0} {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.19

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + 1 {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.20

Multiplique ${(- 4)}^{3}$ por $1$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x + {(- 4)}^{3}$

Etapa 4.21

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$27 x^{3} - 108 x^{2} + 144 x - 64$