Matemática discreta Exemplos

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = - 15$

Etapa 1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 15 = 0$

Etapa 2

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 2 (8 y) + 2 \cdot 15 = 0$

Etapa 2.2.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 2 \cdot 15 = 0$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $15$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 16 y + 30 = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 16$ e $c = x^{2} - 12 x + 30$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 \cdot (x^{2} - 12 x + 30)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} - 8 (- 12 x) - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.1.4.1

Multiplique $- 12$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 8 \cdot 30}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $- 8$ por $30$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 8 x^{2} + 96 x - 240}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.5

Subtraia $240$ de $256$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 8 x^{2} + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6

Fatore $8$ de $- 8 x^{2} + 96 x + 16$ .

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Etapa 5.1.6.1

Fatore $8$ de $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 96 x + 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.2

Fatore $8$ de $96 x$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 16}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.3

Fatore $8$ de $16$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2}) + 8 (12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.4

Fatore $8$ de $8 (- x^{2}) + 8 (12 x)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.6.5

Fatore $8$ de $8 (- x^{2} + 12 x) + 8 (2)$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{8 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.7

Reescreva $8 (- x^{2} + 12 x + 2)$ como $2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))$ .

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Etapa 5.1.7.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (2) (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.7.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- x^{2} + 12 x + 2))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{4}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{8 - \sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 12 x + 2)} + 8}{2}$