Matemática discreta Exemplos

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$27 u^{2} + 21 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 27 \cdot 4 = 108$ e cuja soma é $b = 21$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $21$ de $21 u$ .

$27 u^{2} + 21 (u) + 4 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $21$ como $9$ mais $12$

$27 u^{2} + (9 + 12) u + 4 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$27 u^{2} + 9 u + 12 u + 4 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(27 u^{2} + 9 u) + 12 u + 4 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$9 u (3 u + 1) + 4 (3 u + 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 u + 1 = 0$

$9 u + 4 = 0$

Etapa 4

Defina $3 u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $3 u + 1$ como igual a $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3 u + 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 u = - 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $3 u = - 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $3 u = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{3}$

Etapa 5

Defina $9 u + 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $9 u + 4$ como igual a $0$ .

$9 u + 4 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $9 u + 4 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$9 u = - 4$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $9 u = - 4$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $9 u = - 4$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 4}{9}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{4}{9}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{1}{3}, - \frac{4}{9}$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 9.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 9.2.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.2.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 9.2.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 9.2.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 9.2.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 9.2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 9.2.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 9.2.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.2.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 9.2.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.2.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $- \frac{4}{9}$ como ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

Etapa 11.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 i}{3}$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 i}{3}$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

Etapa 12

A solução para $27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$ é $x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$ .

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$