Matemática discreta Exemplos

$2 x^{\frac{11}{5}} - 19 x^{\frac{6}{5}} + 24 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Etapa 1

Encontre um divisor comum $x^{\frac{1}{5}}$ que esteja presente em cada termo.

$2 {(x^{\frac{1}{5}})}^{11} - 19 {(x^{\frac{1}{5}})}^{6} + 24 x^{\frac{1}{5}}$

Etapa 2

Substitua $u$ por $x^{\frac{1}{5}}$ .

$2 {(u)}^{11} - 19 {(u)}^{6} + 24 (u) = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $24$ por $u$ .

$2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $u$ de $2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $u$ de $2 u^{11}$ .

$u (2 u^{10}) - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $u$ de $- 19 u^{6}$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + 24 u = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $u$ de $24 u$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $u$ de $u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5})$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $u$ de $u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Etapa 3.2.2

Reescreva $u^{10}$ como ${(u^{5})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{5})}^{2} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Etapa 3.2.3

Deixe $u = u^{5}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $u^{5}$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 24 = 48$ e cuja soma é $b = - 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1

Fatore $- 19$ de $- 19 u$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Etapa 3.2.4.1.2

Reescreva $- 19$ como $- 3$ mais $- 16$

$u (2 u^{2} + (- 3 - 16) u + 24) = 0$

Etapa 3.2.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$u (2 u^{2} - 3 u - 16 u + 24) = 0$

Etapa 3.2.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$u ((2 u^{2} - 3 u) - 16 u + 24) = 0$

Etapa 3.2.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (u (2 u - 3) - 8 (2 u - 3)) = 0$

Etapa 3.2.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 3$ .

$u ((2 u - 3) (u - 8)) = 0$

Etapa 3.2.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $u^{5}$ .

$u ((2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8)) = 0$

Etapa 3.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$2 u^{5} - 3 = 0$

$u^{5} - 8 = 0$

Etapa 3.4

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 3.5

Defina $2 u^{5} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $2 u^{5} - 3$ como igual a $0$ .

$2 u^{5} - 3 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $2 u^{5} - 3 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 u^{5} = 3$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $2 u^{5} = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 u^{5} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $u^{5}$ por $1$ .

$u^{5} = \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$

Etapa 3.5.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Etapa 3.5.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Etapa 3.5.2.4.3.2

Eleve $\sqrt[5]{2}$ à potência de $1$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Etapa 3.5.2.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

Etapa 3.5.2.4.3.4

Some $1$ e $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

Etapa 3.5.2.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{2}$ como $2^{\frac{1}{5}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Etapa 3.5.2.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 3.5.2.4.3.5.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.5.2.4.3.5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.5.2.4.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

Etapa 3.5.2.4.3.5.5

Avalie o expoente.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

Etapa 3.5.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ como $\sqrt[5]{2^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

Etapa 3.5.2.4.4.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{16}}{2}$

Etapa 3.5.2.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$u = \frac{\sqrt[5]{3 \cdot 16}}{2}$

Etapa 3.5.2.4.5.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$

Etapa 3.6

Defina $u^{5} - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $u^{5} - 8$ como igual a $0$ .

$u^{5} - 8 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $u^{5} - 8 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u^{5} = 8$

Etapa 3.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{8}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Etapa 4

Substitua $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{5}} = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Etapa 5

Resolva $x^{\frac{1}{5}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Eleve cada lado da equação à potência de $5$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 5.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 5.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{5}$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique.

$x = 0^{5}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Resolva $x^{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve cada lado da equação à potência de $5$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Etapa 6.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Etapa 6.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Etapa 6.2.1.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique ${(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ .

$x = \frac{{\sqrt[5]{48}}^{5}}{2^{5}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva ${\sqrt[5]{48}}^{5}$ como $48$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{48}$ como $48^{\frac{1}{5}}$ .

$x = \frac{{(48^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{48^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Etapa 6.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Etapa 6.2.2.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{48^{1}}{2^{5}}$

Etapa 6.2.2.1.2.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{48}{2^{5}}$

Etapa 6.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$x = \frac{48}{32}$

Etapa 6.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $48$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{16 (3)}{32}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.2.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Etapa 6.2.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Etapa 6.2.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 7

Resolva $x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{8}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Eleve cada lado da equação à potência de $5$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Etapa 7.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Etapa 7.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Etapa 7.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Etapa 7.2.1.1.2

Simplifique.

$x = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Reescreva ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ como $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{8}$ como $8^{\frac{1}{5}}$ .

$x = {(8^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Etapa 7.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 8^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Etapa 7.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Etapa 7.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Etapa 7.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 8^{1}$

Etapa 7.2.2.1.5

Avalie o expoente.

$x = 8$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Forma decimal:

$x = 0, 1.5, 8$

Forma de número misto:

$x = 0, 1 \frac{1}{2}, 8$