Matemática discreta Exemplos

$8 \cdot 2^{x} = 81 \cdot 3^{x - 1}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (8 \cdot 2^{x})$ como $\ln (8) + \ln (2^{x})$ .

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (81 \cdot 3^{x - 1})$ como $\ln (81) + \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + \ln (3^{x - 1})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln (3^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + (x - 1) \ln (3)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $\ln (81) + (x - 1) \ln (3)$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - \ln (3)$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (\frac{81}{3})$

Etapa 4.1.3

Divida $81$ por $3$ .

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (27)$

Etapa 5

Reordene $\ln (8)$ e $x \ln (2)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = x \ln (3) + \ln (27)$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (2) + \ln (8) - x \ln (3) - \ln (27) = 0$

Etapa 7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (\frac{8}{27}) = 0$

Etapa 8

Subtraia $\ln (\frac{8}{27})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (2) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Etapa 9

Fatore $x$ de $x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Etapa 9.1

Fatore $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

Etapa 9.2

Fatore $x$ de $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Etapa 9.3

Fatore $x$ de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Etapa 10

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

Etapa 11

Divida cada termo em $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ por $\ln (2) - \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Divida cada termo em $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ por $\ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Etapa 11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Etapa 11.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Etapa 11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = - 3$