Matemática discreta Exemplos

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1

Simplifique $(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Expanda $(2 x - 5) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Mova $x$ .

$(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.2.2

Subtraia $5 x$ de $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.3

Expanda $(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1.1

Mova $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$(2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.3.1

Mova $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.4

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.1.5

Multiplique $10$ por $4$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Subtraia $9 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.4.2.2

Some $- 36 x$ e $10 x$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Etapa 1.5

Expanda $(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.2.3

Some $1$ e $3$ .

$2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.6.1

Mova $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.8

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x \cdot x - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.10

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.10.1

Mova $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 (x \cdot x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.11

Multiplique $- 26$ por $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.12

Multiplique $7$ por $- 26$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.13

Multiplique $2$ por $40$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 40 \cdot 7 = 91$

Etapa 1.6.1.14

Multiplique $40$ por $7$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Etapa 1.6.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $14 x^{3}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Etapa 1.6.2.2

Subtraia $52 x^{2}$ de $- 7 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Etapa 1.6.2.3

Some $- 182 x$ e $80 x$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 = 91$

Etapa 2

Subtraia $91$ dos dois lados da equação.

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 - 91 = 0$

Etapa 3

Subtraia $91$ de $280$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 189, \pm 3, \pm 63, \pm 7, \pm 27, \pm 9, \pm 21$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 4.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 189, \pm 47.25, \pm 94.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 27, \pm 6.75, \pm 13.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5$

Etapa 4.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$4 \cdot 3^{4} + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$4 \cdot 81 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $81$ .

$324 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$324 + 12 \cdot 27 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique $12$ por $27$ .

$324 + 324 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.6

Some $324$ e $324$ .

$648 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$648 - 59 \cdot 9 - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.8

Multiplique $- 59$ por $9$ .

$648 - 531 - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.9

Subtraia $531$ de $648$ .

$117 - 102 \cdot 3 + 189$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $- 102$ por $3$ .

$117 - 306 + 189$

Etapa 4.1.3.11

Subtraia $306$ de $117$ .

$- 189 + 189$

Etapa 4.1.3.12

Some $- 189$ e $189$ .

$0$

Etapa 4.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189}{x - 3}$

Etapa 4.1.5

Divida $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ por $x - 3$ .

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Etapa 4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Etapa 4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Etapa 4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{4} - 12 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Etapa 4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

Etapa 4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Etapa 4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $24 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Etapa 4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Etapa 4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $24 x^{3} - 72 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Etapa 4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

Etapa 4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Etapa 4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $13 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Etapa 4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Etapa 4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $13 x^{2} - 39 x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Etapa 4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

Etapa 4.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Etapa 4.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 63 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Etapa 4.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Etapa 4.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 63 x + 189$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Etapa 4.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

$0$

Etapa 4.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$

Etapa 4.1.6

Escreva $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) (4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63) = 0$

Etapa 4.2

Fatore $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 4.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Etapa 4.2.1.3

Substitua $- 4.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 4.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.2.1.3.1

Substitua $- 4.5$ no polinômio.

$4 {(- 4.5)}^{3} + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Etapa 4.2.1.3.2

Eleve $- 4.5$ à potência de $3$ .

$4 \cdot - 91.125 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Etapa 4.2.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 91.125$ .

$- 364.5 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Etapa 4.2.1.3.4

Eleve $- 4.5$ à potência de $2$ .

$- 364.5 + 24 \cdot 20.25 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Etapa 4.2.1.3.5

Multiplique $24$ por $20.25$ .

$- 364.5 + 486 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Etapa 4.2.1.3.6

Some $- 364.5$ e $486$ .

$121.5 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Etapa 4.2.1.3.7

Multiplique $13$ por $- 4.5$ .

$121.5 - 58.5 - 63$

Etapa 4.2.1.3.8

Subtraia $58.5$ de $121.5$ .

$63 - 63$

Etapa 4.2.1.3.9

Subtraia $63$ de $63$ .

$0$

Etapa 4.2.1.4

Como $- 4.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 9$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63}{2 x + 9}$

Etapa 4.2.1.5

Divida $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ por $2 x + 9$ .

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Etapa 4.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

Etapa 4.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$

Etapa 4.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			+	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Etapa 4.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} + 18 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Etapa 4.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Etapa 4.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Etapa 4.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Etapa 4.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Etapa 4.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{2} + 27 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Etapa 4.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$

Etapa 4.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Etapa 4.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 14 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Etapa 4.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							-	$14 x$	-	$63$

Etapa 4.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 14 x - 63$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$

Etapa 4.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$
										$0$

Etapa 4.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + 3 x - 7$

Etapa 4.2.1.6

Escreva $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) ((2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7)) = 0$

Etapa 4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Defina $2 x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina $2 x + 9$ como igual a $0$ .

$2 x + 9 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $2 x + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 9$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 9$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 9$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{2}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{9}{2}$

Etapa 8

Defina $2 x^{2} + 3 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $2 x^{2} + 3 x - 7$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 3$ e $c = - 7$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.3.1.3

Some $9$ e $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Forma decimal:

$x = 3, - 4.5, 1.26556443 \dots, - 2.76556443 \dots$

Forma de número misto:

$x = 3, - 4 \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$