Matemática discreta Exemplos

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (8000 e^{0.06 t})$ como $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ .

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (e^{0.06 t})$ movendo $0.06 t$ para fora do logaritmo.

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Etapa 2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Etapa 2.4

Multiplique $0.06$ por $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ como $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ movendo $t$ para fora do logaritmo.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

Etapa 3.3

Divida $0.03$ por $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

Etapa 3.4

Some $1$ e $0.03$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $8000$ e $47000$ .

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Etapa 6.1

Fatore $1000$ de $8000$ .

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Etapa 6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.1

Fatore $1000$ de $47000$ .

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Etapa 7

Some $0.06 t$ aos dois lados da equação.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

Etapa 8

Subtraia $\ln (\frac{8}{47})$ dos dois lados da equação.

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Etapa 9

Fatore $0.02 t$ de $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ .

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Etapa 9.1

Fatore $0.02 t$ de $- t \ln (1.03)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Etapa 9.2

Fatore $0.02 t$ de $0.06 t$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Etapa 9.3

Fatore $0.02 t$ de $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Etapa 10

Divida cada termo em $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ por $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Divida cada termo em $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ por $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ .

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Etapa 10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum de $0.02$ .

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Etapa 10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Etapa 10.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum de $- 50 \ln (1.03) + 3$ .

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Etapa 10.2.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Etapa 10.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Etapa 10.3.2

Multiplique por $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Etapa 10.3.3

Separe as frações.

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Etapa 10.3.4

Divida $1$ por $0.02$ .

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Etapa 10.3.5

Combine $50$ e $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

Etapa 10.3.6

Fatore $- 1$ de $- 50 \ln (1.03)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

Etapa 10.3.7

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

Etapa 10.3.8

Fatore $- 1$ de $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

Etapa 10.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.3.9.1

Reescreva $- (50 \ln (1.03) - 3)$ como $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

Etapa 10.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Etapa 10.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Etapa 10.3.9.4

Multiplique $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ por $1$ .

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Forma decimal:

$t = 58.16808110 \dots$