Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{15}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 5, x, 15$

Etapa 1.2

Since $x + 5, x, 15$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

As etapas para encontrar o MMC de $x + 5, x, 15$ são:

1. Encontre o MMC da parte numérica $1, 1, 15$ .

2. Encontre o MMC da parte variável $x^{1}$ .

3. Encontre o MMC da parte variável composta $x + 5$ .

4. Multiplique todos os MMCs juntos.

Etapa 1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.5

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 5$

Etapa 1.6

Multiplique $3$ por $5$ .

$15$

Etapa 1.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x$

Etapa 1.9

O fator de $x + 5$ é o próprio $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.10

O MMC de $x + 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x + 5$

Etapa 1.11

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$15 x (x + 5)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{15}$ por $15 x (x + 5)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{15}$ por $15 x (x + 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} (15 x (x + 5)) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 \frac{1}{x + 5} (x (x + 5)) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.2

Combine $15$ e $\frac{1}{x + 5}$ .

$\frac{15}{x + 5} (x (x + 5)) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Fatore $x + 5$ de $x (x + 5)$ .

$\frac{15}{x + 5} ((x + 5) x) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{15}{x + 5} ((x + 5) x) + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$15 x + \frac{1}{x} (15 x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 x + 15 \frac{1}{x} (x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.5

Combine $15$ e $\frac{1}{x}$ .

$15 x + \frac{15}{x} (x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$15 x + \frac{15}{x} (x (x + 5)) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$15 x + 15 (x + 5) = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$15 x + 15 x + 15 \cdot 5 = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.1.8

Multiplique $15$ por $5$ .

$15 x + 15 x + 75 = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.2.2

Some $15 x$ e $15 x$ .

$30 x + 75 = \frac{1}{15} (15 x (x + 5))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $15$ de $15 x (x + 5)$ .

$30 x + 75 = \frac{1}{15} (15 (x (x + 5)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$30 x + 75 = \frac{1}{15} (15 (x (x + 5)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$30 x + 75 = x (x + 5)$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$30 x + 75 = x \cdot x + x \cdot 5$

Etapa 2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$30 x + 75 = x^{2} + x \cdot 5$

Etapa 2.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$30 x + 75 = x^{2} + 5 x$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} + 5 x = 30 x + 75$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $30 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 5 x - 30 x = 75$

Etapa 3.2.2

Subtraia $30 x$ de $5 x$ .

$x^{2} - 25 x = 75$

Etapa 3.3

Subtraia $75$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 25 x - 75 = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 25$ e $c = - 75$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 75)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 25$ à potência de $2$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 1 \cdot - 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 75$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 75}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 75$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{625 + 300}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Some $625$ e $300$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{925}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $925$ como $5^{2} \cdot 37$ .

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Etapa 3.6.1.4.1

Fatore $25$ de $925$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{25 (37)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{25 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{37}}{2}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{25 + 5 \sqrt{37}}{2}, \frac{25 - 5 \sqrt{37}}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{25 + 5 \sqrt{37}}{2}, \frac{25 - 5 \sqrt{37}}{2}$

Forma decimal:

$x = 27.70690632 \dots, - 2.70690632 \dots$