Matemática discreta Exemplos

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

Etapa 1

Subtraia $24 \cdot 2^{x}$ dos dois lados da equação.

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Etapa 2

Reescreva $2^{2 x}$ como exponenciação.

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

Etapa 4

Mova $128$ .

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Fatore $u^{2} - 24 u + 128$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $128$ e cuja soma é $- 24$ .

$- 16, - 8$

Etapa 5.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 16) (u - 8) = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

Etapa 5.3

Defina $u - 16$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.3.1

Defina $u - 16$ como igual a $0$ .

$u - 16 = 0$

Etapa 5.3.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$u = 16$

Etapa 5.4

Defina $u - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $u - 8$ como igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u = 8$

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 16) (u - 8) = 0$ verdadeiro.

$u = 16, 8$

Etapa 6

Substitua $16$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$16 = 2^{x}$

Etapa 7

Resolva $16 = 2^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 16$ .

$2^{x} = 16$

Etapa 7.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{4}$

Etapa 7.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 4$

Etapa 8

Substitua $8$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Etapa 9

Resolva $8 = 2^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Etapa 9.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{3}$

Etapa 9.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 10

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 4, 3$