Matemática discreta Exemplos

$\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$

Etapa 1

Calcule a regra de três.

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Etapa 1.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$1 \cdot (\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}) = (x - 2) \cdot (3)$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ por $1$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = (x - 2) \cdot (3)$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Simplifique $(x - 2) \cdot (3)$ .

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = x \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Etapa 1.3.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 \cdot x - 2 \cdot 3$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 x - 6$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ como ${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{1} = {(3 x - 6)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = {(3 x - 6)}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(3 x - 6)}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(3 x - 6)}^{2}$ como $(3 x - 6) (3 x - 6)$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = (3 x - 6) (3 x - 6)$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(3 x - 6) (3 x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x - 6) - 6 (3 x - 6)$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x - 6)$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x - 6 \cdot - 6$

Etapa 3.3.1.3.1.6

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x + 36$

Etapa 3.3.1.3.2

Subtraia $18 x$ de $- 18 x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 36 x + 36$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $9 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} = - 36 x + 36$

Etapa 4.1.2

Some $36 x$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} + 36 x = 36$

Etapa 4.1.3

Subtraia $9 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 19 x + 30 + 36 x = 36$

Etapa 4.1.4

Some $- 19 x$ e $36 x$ .

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 = 36$

Etapa 4.2

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 - 36 = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $36$ de $30$ .

$- 5 x^{2} + 17 x - 6 = 0$

Etapa 4.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.4.1

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{2} + 17 x - 6$ .

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$- (5 x^{2}) + 17 x - 6 = 0$

Etapa 4.4.1.2

Fatore $- 1$ de $17 x$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 6 = 0$

Etapa 4.4.1.3

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Etapa 4.4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{2}) - (- 17 x)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Etapa 4.4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{2} - 17 x) - 1 (6)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.4.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ e cuja soma é $b = - 17$ .

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Etapa 4.4.2.1.1.1

Fatore $- 17$ de $- 17 x$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Etapa 4.4.2.1.1.2

Reescreva $- 17$ como $- 2$ mais $- 15$

$- (5 x^{2} + (- 2 - 15) x + 6) = 0$

Etapa 4.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (5 x^{2} - 2 x - 15 x + 6) = 0$

Etapa 4.4.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.4.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((5 x^{2} - 2 x) - 15 x + 6) = 0$

Etapa 4.4.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (5 x - 2) - 3 (5 x - 2)) = 0$

Etapa 4.4.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x - 2$ .

$- ((5 x - 2) (x - 3)) = 0$

Etapa 4.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (5 x - 2) (x - 3) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 4.6

Defina $5 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $5 x - 2$ como igual a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Etapa 4.6.2

Resolva $5 x - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.6.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$5 x = 2$

Etapa 4.6.2.2

Divida cada termo em $5 x = 2$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 4.6.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 4.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Etapa 4.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Etapa 4.7

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.7.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $- (5 x - 2) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{2}{5}, 3$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$ verdadeira.

$x = 3$