Matemática discreta Exemplos

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

Etapa 1

Reescreva $5^{2 x}$ como exponenciação.

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

Etapa 2

Substitua $u$ por $5^{x}$ .

$u^{2} + 3 u = 28$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $28$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $u^{2} + 3 u - 28$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 28$ e cuja soma é $3$ .

$- 4, 7$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

Etapa 3.4

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 3.5

Defina $u + 7$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $u + 7$ como igual a $0$ .

$u + 7 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$u = - 7$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 4) (u + 7) = 0$ verdadeiro.

$u = 4, - 7$

Etapa 4

Substitua $4$ por $u$ em $u = 5^{x}$ .

$4 = 5^{x}$

Etapa 5

Resolva $4 = 5^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $5^{x} = 4$ .

$5^{x} = 4$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Etapa 5.3

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (4)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x \ln (5) = \ln (4)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Etapa 6

Substitua $- 7$ por $u$ em $u = 5^{x}$ .

$- 7 = 5^{x}$

Etapa 7

Resolva $- 7 = 5^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $5^{x} = - 7$ .

$5^{x} = - 7$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

Etapa 7.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 7)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 7.4

Não há uma solução para $5^{x} = - 7$

Nenhuma solução

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 0.86135311 \dots$