Matemática discreta Exemplos

$\sqrt{3 x + 10} = 5 - 2 x$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{3 x + 10}}^{2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x + 10}$ como ${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 x + 10)}^{1} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$3 x + 10 = {(5 - 2 x)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique ${(5 - 2 x)}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(5 - 2 x)}^{2}$ como $(5 - 2 x) (5 - 2 x)$ .

$3 x + 10 = (5 - 2 x) (5 - 2 x)$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(5 - 2 x) (5 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 10 = 5 (5 - 2 x) - 2 x (5 - 2 x)$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 10 = 5 \cdot 5 + 5 (- 2 x) - 2 x (5 - 2 x)$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x + 10 = 5 \cdot 5 + 5 (- 2 x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$3 x + 10 = 25 + 5 (- 2 x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 2 x \cdot 5 - 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 x (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Etapa 2.3.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Etapa 2.3.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 \cdot - 2 x^{2}$

Etapa 2.3.1.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x + 4 x^{2}$

Etapa 2.3.1.3.2

Subtraia $10 x$ de $- 10 x$ .

$3 x + 10 = 25 - 20 x + 4 x^{2}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$25 - 20 x + 4 x^{2} = 3 x + 10$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$25 - 20 x + 4 x^{2} - 3 x = 10$

Etapa 3.2.2

Subtraia $3 x$ de $- 20 x$ .

$25 + 4 x^{2} - 23 x = 10$

Etapa 3.3

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$25 + 4 x^{2} - 23 x - 10 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $10$ de $25$ .

$4 x^{2} - 23 x + 15 = 0$

Etapa 3.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ e cuja soma é $b = - 23$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $- 23$ de $- 23 x$ .

$4 x^{2} - 23 x + 15 = 0$

Etapa 3.5.1.2

Reescreva $- 23$ como $- 3$ mais $- 20$

$4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15 = 0$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15 = 0$

Etapa 3.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15 = 0$

Etapa 3.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3) = 0$

Etapa 3.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 5) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 3.7

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $4 x - 3$ como igual a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Etapa 3.7.2

Resolva $4 x - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.7.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 x = 3$

Etapa 3.7.2.2

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.7.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 3.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 3.7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 3.8

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.8.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x - 3) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3}{4}, 5$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{3 x + 10} = 5 - 2 x$ verdadeira.

$x = \frac{3}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$x = 0.75$