Matemática discreta Exemplos

$2 z^{\frac{13}{5}} - 14 z^{\frac{8}{5}} + 12 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Etapa 1

Encontre um divisor comum $z^{\frac{3}{5}}$ que esteja presente em cada termo.

$2 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{13}{3}} - 14 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{8}{3}} + 12 z^{\frac{3}{5}}$

Etapa 2

Substitua $u$ por $z^{\frac{3}{5}}$ .

$2 {(u)}^{\frac{13}{3}} - 14 {(u)}^{\frac{8}{3}} + 12 (u) = 0$

Etapa 3

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $2 u$ de $2 u^{\frac{13}{3}} - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Fatore $2 u$ de $2 u^{\frac{13}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u = 0$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $2 u$ de $- 14 u^{\frac{8}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 12 u = 0$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $2 u$ de $12 u$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Etapa 3.1.1.4

Fatore $2 u$ de $2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}})$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Etapa 3.1.1.5

Fatore $2 u$ de $2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6)$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $u^{\frac{10}{3}}$ como ${(u^{\frac{5}{3}})}^{2}$ .

$2 u ({(u^{\frac{5}{3}})}^{2} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Etapa 3.1.3

Deixe $u = u^{\frac{5}{3}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore $u^{2} - 7 u + 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 6, - 1$

Etapa 3.1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 u ((u - 6) (u - 1)) = 0$

Etapa 3.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u ((u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1)) = 0$

Etapa 3.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Etapa 3.3

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 3.4

Defina $u^{\frac{5}{3}} - 6$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $u^{\frac{5}{3}} - 6$ como igual a $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$u^{\frac{5}{3}} = 6$

Etapa 3.4.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$u^{1} = 6^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Simplifique.

$u = 6^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5

Defina $u^{\frac{5}{3}} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $u^{\frac{5}{3}} - 1$ como igual a $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u^{\frac{5}{3}} = 1$

Etapa 3.5.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{5}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Simplifique ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$u^{1} = 1^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.1.1.2

Simplifique.

$u = 1^{\frac{3}{5}}$

Etapa 3.5.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u = 1$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Etapa 4

Substitua $z$ por $u$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Etapa 5

Resolva $z^{\frac{3}{5}} = 0$ para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $0^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$z = 0^{5}$

Etapa 5.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$z = 0$

Etapa 6

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$z = 6$

Etapa 7

Resolva $z^{\frac{3}{5}} = 1$ para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{5}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Simplifique ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$z^{1} = 1^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Simplifique.

$z = 1^{\frac{5}{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$z = 1$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$z = 0, 6, 1$