Matemática discreta Exemplos

$z^{2} - 2 i z + 1 = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2 i$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $z$ .

$\frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2 i)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.8

Reescreva $\sqrt{- 1 (8)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.9

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.10

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 3.1.10.1

Fatore $4$ de $8$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.10.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$z = \frac{2 i \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.12

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique $\frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$z = i \pm i \sqrt{2}$

Etapa 4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$z = i + i \sqrt{2}, i - i \sqrt{2}$