Matemática discreta Exemplos

$p^{2} \cdot k^{2} + p (k \cdot n - k) + n = 0$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p^{2} k^{2} + p (k n) + p (- k) + n = 0$

Etapa 1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p^{2} k^{2} + p k n - p k + n = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = p^{2}$ , $b = p n - p$ e $c = n$ na fórmula quadrática e resolva $k$ .

$\frac{- (p n - p) \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot (p^{2} \cdot n)}}{2 p^{2}}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- (p n) + p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique $- - p$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$k = \frac{- p n + 1 p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $p$ por $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.3

Reescreva ${(p n - p)}^{2}$ como $(p n - p) (p n - p)$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{(p n - p) (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.4

Expanda $(p n - p) (p n - p)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n - p) - p (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n) + p n (- p) - p (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n) + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1.1

Multiplique $p$ por $p$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.1.1

Mova $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p \cdot p n \cdot n + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.1.2

Multiplique $p$ por $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n \cdot n + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.2.1

Mova $n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n \cdot n) + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p n p - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.4

Multiplique $p$ por $p$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.4.1

Mova $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p \cdot p n - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.4.2

Multiplique $p$ por $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.5

Multiplique $p$ por $p$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.5.1

Mova $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p \cdot p n - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.5.2

Multiplique $p$ por $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 p \cdot p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.7

Multiplique $p$ por $p$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.7.1

Mova $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 (p \cdot p)) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.7.2

Multiplique $p$ por $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 p^{2}) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n + 1 p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.1.9

Multiplique $p^{2}$ por $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n + p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.5.2

Subtraia $p^{2} n$ de $- p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - 2 p^{2} n + p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.6

Subtraia $4 p^{2} n$ de $- 2 p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.7

Reescreva $p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.7.1

Fatore $p^{2}$ de $p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n$ .

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Etapa 4.7.1.1

Fatore $p^{2}$ de $p^{2} n^{2}$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.7.1.2

Multiplique por $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1 - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.7.1.3

Fatore $p^{2}$ de $- 6 p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1 + p^{2} (- 6 n)}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.7.1.4

Fatore $p^{2}$ de $p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} + 1) + p^{2} (- 6 n)}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.7.1.5

Fatore $p^{2}$ de $p^{2} (n^{2} + 1) + p^{2} (- 6 n)$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} + 1 - 6 n)}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.7.2

Reordene os termos.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} - 6 n + 1)}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.8

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} - 6 n + 1^{2})}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$k = \frac{- p n + p \pm p \sqrt{n^{2} - 6 n + 1^{2}}}{2 p^{2}}$

Etapa 4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$k = \frac{- p n + p \pm p \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p^{2}}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$k = - \frac{n - 1 - \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p}$

$k = - \frac{n - 1 + \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p}$