Matemática discreta Exemplos

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x}{33 + x}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x + 1}{2 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{x}{33 + x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 - x) (33 + x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x + 1}{2 - x}$ por $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x}{33 + x}$ por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Expanda $(x + 1) (33 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Mova $33$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.2.1.3

Multiplique $33$ por $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $33 x$ e $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.6.1.1

Mova $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.6.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.7

Subtraia $2 x$ de $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.8

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 2.5.9

Reordene os termos.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 32$ e $c = 33$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $264$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $760$ como $2^{2} \cdot 190$ .

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Etapa 8

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 9

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 9.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 10

Subtraia $33$ dos dois lados da equação.

$x = - 33$

Etapa 11

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Etapa 12

Consolide as soluções.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Etapa 13

Encontre o domínio de $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

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Etapa 13.1

Defina o denominador em $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x$ .

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Etapa 13.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Etapa 13.2.2

Defina $2 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.2.2.1

Defina $2 - x$ como igual a $0$ .

$2 - x = 0$

Etapa 13.2.2.2

Resolva $2 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.2.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 2$

Etapa 13.2.2.2.2

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 13.2.2.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 13.2.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 13.2.2.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 13.2.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.2.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 13.2.3

Defina $33 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.2.3.1

Defina $33 + x$ como igual a $0$ .

$33 + x = 0$

Etapa 13.2.3.2

Subtraia $33$ dos dois lados da equação.

$x = - 33$

Etapa 13.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(2 - x) (33 + x) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 33$

Etapa 13.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $x < - 33$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 33$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 36$

Etapa 15.1.2

Substitua $x$ por $- 36$ na desigualdade original.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $- 0.92105263$ é menor do que o lado direito $12$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 15.2

Teste um valor no intervalo $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 17$

Etapa 15.2.2

Substitua $x$ por $- 17$ na desigualdade original.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Etapa 15.2.3

O lado esquerdo $- 0.84210526$ não é menor do que o lado direito $- 1.0625$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 15.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 15.3.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Etapa 15.3.3

O lado esquerdo $- 0.5$ é menor do que o lado direito $- 0.13793103$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 15.4

Teste um valor no intervalo $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.4.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 15.4.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Etapa 15.4.3

O lado esquerdo $0.5$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 15.5

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 15.5.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Etapa 15.5.3

O lado esquerdo $- 2.5$ é menor do que o lado direito $0.\overline{108}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 15.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 33$ Verdadeiro

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falso

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 33$ Verdadeiro

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Falso

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 16

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 33$ ou $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ ou $x > 2$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Etapa 18