Matemática discreta Exemplos

$x - 2 \sqrt{5 x} = 15$

Etapa 1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sqrt{5 x} = 15 - x$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- 2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

${(- 2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique os expoentes em ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.5

Avalie o expoente.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.7.2.1

Cancele o fator comum.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.7.2.2

Reescreva a expressão.

$20 x^{1} = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.2.1.8

Simplifique.

$20 x = {(15 - x)}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(15 - x)}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(15 - x)}^{2}$ como $(15 - x) (15 - x)$ .

$20 x = (15 - x) (15 - x)$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(15 - x) (15 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$20 x = 15 (15 - x) - x (15 - x)$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x (15 - x)$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $15$ por $15$ .

$20 x = 225 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$20 x = 225 - 15 x - x \cdot 15 - x (- x)$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - x (- x)$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Etapa 3.3.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Etapa 3.3.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + 1 x^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + x^{2}$

Etapa 3.3.1.3.2

Subtraia $15 x$ de $- 15 x$ .

$20 x = 225 - 30 x + x^{2}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$225 - 30 x + x^{2} = 20 x$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $20 x$ dos dois lados da equação.

$225 - 30 x + x^{2} - 20 x = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $20 x$ de $- 30 x$ .

$225 + x^{2} - 50 x = 0$

Etapa 4.3

Fatore $225 + x^{2} - 50 x$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $225$ e cuja soma é $- 50$ .

$- 45, - 5$

Etapa 4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 45) (x - 5) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 45 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 4.5

Defina $x - 45$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x - 45$ como igual a $0$ .

$x - 45 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $45$ aos dois lados da equação.

$x = 45$

Etapa 4.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 45) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 45, 5$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $x - 2 \sqrt{5 x} = 15$ verdadeira.

$x = 45$