Matemática discreta Exemplos

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 1.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} - x = 6$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Etapa 4.2

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 2$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ verdadeira.

$x = 3$