Matemática discreta Exemplos

$\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (8 - x)) = \ln (18)$

Etapa 1.2

Expanda $(1 - x) (8 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (1 (8 - x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$\ln (8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\ln (8 - x - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x - x (- x)) = \ln (18)$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (18)$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (18)$

Etapa 1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (18)$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + 1 x^{2}) = \ln (18)$

Etapa 1.3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + x^{2}) = \ln (18)$

Etapa 1.3.2

Subtraia $8 x$ de $- x$ .

$\ln (8 - 9 x + x^{2}) = \ln (18)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$8 - 9 x + x^{2} = 18$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$8 - 9 x + x^{2} - 18 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $18$ de $8$ .

$- 9 x + x^{2} - 10 = 0$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$- 9 u + u^{2} - 10 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $- 9 u + u^{2} - 10$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 10, 1$

Etapa 3.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 10) (u + 1) = 0$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 3.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 10) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 10, - 1$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$ verdadeira.

$x = - 1$