Matemática discreta Exemplos

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 2) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

Etapa 1.3.2

Subtraia $4 x$ de $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

Etapa 2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

Etapa 3

Reescreva $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

Etapa 4.2

Subtraia $e^{8}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = - 2 - e^{8}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.6

Some $9$ e $16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ verdadeira.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Forma decimal:

$x = 39.37695294 \dots$