Matemática discreta Exemplos

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $5 \log_{2} (x)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

Etapa 2.1.3

Reduza a expressão $\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.1.3.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

Etapa 2.1.3.2

Fatore $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Etapa 2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Etapa 2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

Etapa 2.1.4

Reescreva $\frac{x^{2}}{2}$ como $x^{2} \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

Etapa 2.1.5

Reescreva $\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ como $\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

Etapa 2.1.6

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

Etapa 2.1.7

A base do logaritmo $2$ de $2$ é $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

Etapa 2.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

Etapa 3.2

Some $5$ e $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

Etapa 4

Escreva na forma exponencial.

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Etapa 4.1

Para equações logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ é equivalente a $b^{y} = x$ , de forma que $x > 0$ , $b > 0$ e $b \neq 1$ . Neste caso, $b = 2$ , $x = x^{2}$ e $y = 6$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $b$ , $x$ e $y$ na equação $b^{y} = x$ .

$2^{6} = x^{2}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $x^{2} = 2^{6}$ .

$x^{2} = 2^{6}$

Etapa 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

Etapa 5.3

Simplifique $\pm \sqrt{2^{6}}$ .

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Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Etapa 5.3.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Etapa 5.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 8$

Etapa 5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8$

Etapa 5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8$

Etapa 5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8, - 8$

Etapa 6

Exclua as soluções que não tornam $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ verdadeira.

$x = 8$