Matemática discreta Exemplos

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

Etapa 1

Escreva $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ como uma equação.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ por $20000$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ por $20000$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $20000$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida ${1.02}^{y}$ por $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

Etapa 3.4

Expanda $\ln ({1.02}^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ por $\ln (1.02)$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ por $\ln (1.02)$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (1.02)$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Etapa 5

Verifique se $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ é o inverso de $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $P^{- 1} (P (t)) = t$ e $P (P^{- 1} (t)) = t$ .

Etapa 5.2

Avalie $P^{- 1} (P (t))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$P^{- 1} (P (t))$

Etapa 5.2.2

Avalie $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ substituindo o valor de $P$ em $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $20000$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Etapa 5.2.3.2

Divida ${(1.02)}^{t}$ por $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

Etapa 5.2.4

Expanda $\ln ({(1.02)}^{t})$ movendo $t$ para fora do logaritmo.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $\ln (1.02)$ .

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Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Etapa 5.2.5.2

Divida $t$ por $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

Etapa 5.3

Avalie $P (P^{- 1} (t))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$P (P^{- 1} (t))$

Etapa 5.3.2

Avalie $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ substituindo o valor de $P^{- 1}$ em $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

Etapa 5.3.3

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

Etapa 5.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $20000$ .

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Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

Etapa 5.4

Como $P^{- 1} (P (t)) = t$ e $P (P^{- 1} (t)) = t$ , então, $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ é o inverso de $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$