Matemática discreta Exemplos

$8 y^{3} - 1 = 0$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$8 y^{3} = 1$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $8 y^{3}$ como ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 2 y$ e $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a regra do produto a $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 3.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Etapa 3.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Etapa 5

Defina $2 y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 y - 1$ como igual a $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 y - 1 = 0$ para $y$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 y = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 y = 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Defina $4 y^{2} + 2 y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 6.1

Defina $4 y^{2} + 2 y + 1$ como igual a $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ para $y$ .

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Etapa 6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = 2$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ verdadeiro.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$