Matemática discreta Exemplos

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Etapa 1

Reescreva a equação como ${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Expanda $\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ movendo $y - 1$ para fora do logaritmo.

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (\frac{1}{x})$ como $\ln (1) - \ln (x)$ .

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 3.4

Subtraia $\ln (x)$ de $0$ .

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1

Simplifique $(y - 1) (- \ln (x))$ .

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 1 (- \ln (x))$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Etapa 6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Etapa 7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Etapa 7.2.2

Some $1$ e $4$ .

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Etapa 8

Subtraia $\ln (x^{5})$ dos dois lados da equação.

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Etapa 9

Divida cada termo em $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ por $- \ln (x)$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Divida cada termo em $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ por $- \ln (x)$ .

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Etapa 9.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Etapa 9.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$