Matemática discreta Exemplos

$\frac{y - c}{y + c} + \frac{y + c}{y - c} = \frac{34}{15}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + c, y - c, 15$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 5$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $5$ .

$15$

Etapa 1.6

O fator de $y + c$ é o próprio $y + c$ .

$(y + c) = y + c$

$(y + c)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O fator de $y - c$ é o próprio $y - c$ .

$(y - c) = y - c$

$(y - c)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $y + c, y - c$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(y + c) (y - c)$

Etapa 1.9

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$15 (y + c) (y - c)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{y - c}{y + c} + \frac{y + c}{y - c} = \frac{34}{15}$ por $15 (y + c) (y - c)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{y - c}{y + c} + \frac{y + c}{y - c} = \frac{34}{15}$ por $15 (y + c) (y - c)$ .

$\frac{y - c}{y + c} (15 (y + c) (y - c)) + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 \frac{y - c}{y + c} ((y + c) (y - c)) + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.2

Combine $15$ e $\frac{y - c}{y + c}$ .

$\frac{15 (y - c)}{y + c} ((y + c) (y - c)) + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.3

Cancele o fator comum de $y + c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 (y - c)}{y + c} ((y + c) (y - c)) + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$15 (y - c) (y - c) + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.4

Eleve $y - c$ à potência de $1$ .

$15 ({(y - c)}^{1} (y - c)) + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.5

Eleve $y - c$ à potência de $1$ .

$15 ({(y - c)}^{1} {(y - c)}^{1}) + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$15 {(y - c)}^{1 + 1} + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$15 {(y - c)}^{2} + \frac{y + c}{y - c} (15 (y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 \frac{y + c}{y - c} ((y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.9

Combine $15$ e $\frac{y + c}{y - c}$ .

$15 {(y - c)}^{2} + \frac{15 (y + c)}{y - c} ((y + c) (y - c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.10

Cancele o fator comum de $y - c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.10.1

Fatore $y - c$ de $(y + c) (y - c)$ .

$15 {(y - c)}^{2} + \frac{15 (y + c)}{y - c} ((y - c) (y + c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.10.2

Cancele o fator comum.

$15 {(y - c)}^{2} + \frac{15 (y + c)}{y - c} ((y - c) (y + c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.10.3

Reescreva a expressão.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 (y + c) (y + c) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.11

Eleve $y + c$ à potência de $1$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 ({(y + c)}^{1} (y + c)) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.12

Eleve $y + c$ à potência de $1$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 ({(y + c)}^{1} {(y + c)}^{1}) = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{1 + 1} = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.2.1.14

Some $1$ e $1$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = \frac{34}{15} (15 (y + c) (y - c))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $15$ de $15 (y + c) (y - c)$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((y + c) (y - c)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((y + c) (y - c)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 ((y + c) (y - c))$

Etapa 2.3.2

Expanda $(y + c) (y - c)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y (y - c) + c (y - c))$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y \cdot y + y (- c) + c (y - c))$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y \cdot y + y (- c) + c y + c (- c))$

Etapa 2.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Combine os termos opostos em $y \cdot y + y (- c) + c y + c (- c)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $y (- c)$ e $c y$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y \cdot y - c y + c y + c (- c))$

Etapa 2.3.3.1.2

Some $- c y$ e $c y$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y \cdot y + 0 + c (- c))$

Etapa 2.3.3.1.3

Some $y \cdot y$ e $0$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y \cdot y + c (- c))$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y^{2} + c (- c))$

Etapa 2.3.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y^{2} - c \cdot c)$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $c$ por $c$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Mova $c$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y^{2} - (c \cdot c))$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Multiplique $c$ por $c$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 (y^{2} - c^{2})$

Etapa 2.3.3.3

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 y^{2} + 34 (- c^{2})$

Etapa 2.3.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $34$ .

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} = 34 y^{2} - 34 c^{2}$

Etapa 3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $34 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$15 {(y - c)}^{2} + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva ${(y - c)}^{2}$ como $(y - c) (y - c)$ .

$15 ((y - c) (y - c)) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.2

Expanda $(y - c) (y - c)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 (y (y - c) - c (y - c)) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 (y \cdot y + y (- c) - c (y - c)) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 (y \cdot y + y (- c) - c y - c (- c)) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$15 (y^{2} + y (- c) - c y - c (- c)) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 (y^{2} - y c - c y - c (- c)) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$15 (y^{2} - y c - c y - 1 \cdot - 1 c \cdot c) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.1.4

Multiplique $c$ por $c$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1.4.1

Mova $c$ .

$15 (y^{2} - y c - c y - 1 \cdot - 1 (c \cdot c)) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.1.4.2

Multiplique $c$ por $c$ .

$15 (y^{2} - y c - c y - 1 \cdot - 1 c^{2}) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$15 (y^{2} - y c - c y + 1 c^{2}) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.1.6

Multiplique $c^{2}$ por $1$ .

$15 (y^{2} - y c - c y + c^{2}) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $c y$ de $- y c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.1

Mova $y$ .

$15 (y^{2} - c y - c y + c^{2}) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.3.2.2

Subtraia $c y$ de $- c y$ .

$15 (y^{2} - 2 c y + c^{2}) + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$15 y^{2} + 15 (- 2 c y) + 15 c^{2} + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $15$ .

$15 y^{2} - 30 (c y) + 15 c^{2} + 15 {(y + c)}^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.6

Reescreva ${(y + c)}^{2}$ como $(y + c) (y + c)$ .

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 ((y + c) (y + c)) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.7

Expanda $(y + c) (y + c)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 (y (y + c) + c (y + c)) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 (y \cdot y + y c + c (y + c)) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 (y \cdot y + y c + c y + c \cdot c) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 (y^{2} + y c + c y + c \cdot c) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.8.1.2

Multiplique $c$ por $c$ .

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 (y^{2} + y c + c y + c^{2}) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.8.2

Some $y c$ e $c y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.8.2.1

Reordene $y$ e $c$ .

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 (y^{2} + c y + c y + c^{2}) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.8.2.2

Some $c y$ e $c y$ .

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 (y^{2} + 2 c y + c^{2}) - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.9

Aplique a propriedade distributiva.

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 y^{2} + 15 (2 c y) + 15 c^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.2.10

Multiplique $2$ por $15$ .

$15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 y^{2} + 30 c y + 15 c^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.3

Combine os termos opostos em $15 y^{2} - 30 c y + 15 c^{2} + 15 y^{2} + 30 c y + 15 c^{2} - 34 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Some $- 30 c y$ e $30 c y$ .

$15 y^{2} + 15 c^{2} + 15 y^{2} + 0 + 15 c^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.3.2

Some $15 y^{2} + 15 c^{2} + 15 y^{2}$ e $0$ .

$15 y^{2} + 15 c^{2} + 15 y^{2} + 15 c^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.4

Some $15 y^{2}$ e $15 y^{2}$ .

$15 c^{2} + 30 y^{2} + 15 c^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.5

Some $15 c^{2}$ e $15 c^{2}$ .

$30 c^{2} + 30 y^{2} - 34 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.1.6

Subtraia $34 y^{2}$ de $30 y^{2}$ .

$30 c^{2} - 4 y^{2} = - 34 c^{2}$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $30 c^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 4 y^{2} = - 34 c^{2} - 30 c^{2}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $30 c^{2}$ de $- 34 c^{2}$ .

$- 4 y^{2} = - 64 c^{2}$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 4 y^{2} = - 64 c^{2}$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 4 y^{2} = - 64 c^{2}$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{- 64 c^{2}}{- 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{- 64 c^{2}}{- 4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 64 c^{2}}{- 4}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 64$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $- 4$ de $- 64 c^{2}$ .

$y^{2} = \frac{- 4 (16 c^{2})}{- 4}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $- 4$ de $- 4$ .

$y^{2} = \frac{- 4 (16 c^{2})}{- 4 (1)}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = \frac{- 4 (16 c^{2})}{- 4 \cdot 1}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \frac{16 c^{2}}{1}$

Etapa 3.3.3.1.2.4

Divida $16 c^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = 16 c^{2}$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 c^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{16 c^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva $16 c^{2}$ como ${(4 c)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(4 c)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm 4 c$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 4 c$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 4 c$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 4 c$

$y = - 4 c$

$y = 4 c$

$y = - 4 c$

$y = 4 c$

$y = - 4 c$