Matemática discreta Exemplos

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = b$

Etapa 1

Subtraia $b$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - b = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = x^{2} - 4 x - b$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 4 x - b))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Fatore $4$ de $4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b$ .

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.2

Fatore $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.3

Fatore $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.4

Fatore $4$ de $4 \cdot 1 + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.5

Fatore $4$ de $4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5.6

Fatore $4$ de $4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Reescreva $4 (1 - x^{2} + 4 x + b)$ como $2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)$ .

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Etapa 4.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - 1 + \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$

$y = - 1 - \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$